2025년 정보올림피아드 필기 중등부(11 ~ 15)

2025년도 정보올림피아드 1차대회 필기 중등부 11번부터 15번까지 문제 풀이 입니다.

 

11번

 

$f^{10}(x) = 0$ 이 되는 경우를 찾기 위해서 식을 다음과 같이 바꿔 보겠습니다.

$$ f(f^9(x)) = 0 $$

이제 $f^9(x)$를 a 라고 생각하면 다음과 같은 식이 됩니다.

$$ f(a) = 0 $$

a 는 위에 식에 의해서 다음과 같이 구할 수 있습니다.

$$ a = f^9(x) = 20, 21, 22, 23, 24, 25 $$

그럼 이제 다음 단계로 넘어가 보겠습니다.

$$ a = f^9(x) = f(f^8(x)) = f(b) $$

위와 같은 방식으로 $f^8(x)$를 b로 생각한 것입니다. b 가 될 수 있는 수들을 생각해 보겠습니다.

위 세 번째 공식에 의해서 각 수들에 25을 더한 것들이 가능 합니다. 20 + 25, 21 + 25 … 25 + 25

그리고 첫 번째 공식에 의해 -5에서 0 사이의 값들도 가능 합니다. 왜냐하면 20 - (-5) 는 25로 범위 안에 있기 때문 입니다. 따라서 b에 속하는 수들은 다음과 같습니다.

$$ b = f^8(x) = -5 \dots 0, 45 \dots 50 $$

같은 방식으로 $f^7(x) = c$ 라고 정의 하고 c 를 구해보겠습니다.

45 ~ 50이 되기 위해서는 c < 20 일 때는 -35 ~ - 25가 되고, c > 25 일 때는 70 ~ 75가 됩니다. 거기다 20 ~ 25는 0이 되기 때문에 가능 합니다. 따라서 c 값들은 아래와 같습니다.

$$ c = f^7(x) = -30\dots-25, 20 \dots 25, 70\dots75 $$

규칙을 찾기 위해 d를 찾아 보겠습니다.

• -30 ~ -25 : 해당 구간이 되는 수는 없습니다.
• 20 ~ 25 : -5 ~ 0, 45 ~ 50
• 70 ~ 75 : -55 ~ -50, 95 ~ 100

$$ d = f^6(x) =-55\dots-50, -5\dots0, 45\dots50,95\dots100 $$

이제 패턴이 보입니다. 양수 방향은 범위가 두 주기에 50씩 커집니다. 음수 방향 역시 두 주기에 -50씩 작아집니다.

• 양수 방향 : 45 ~ 50, 95 ~ 100, 145 ~ 150, 195 ~ 200, 245 ~ 250
• 음수 방향 : -205 ~ -200, -155 ~ -150, -105 ~ -100, -55 ~ -50, -5 ~ 0

총 구간이 10구간이고 구간당 6개의 숫자가 있어 개수 c는 60개 입니다.

다음으로 합계를 구해보겠습니다. 양수 방향을 보면 45 ~ 50의 합계는 285 입니다. 여기에 다음 구간은 각 자리의 숫자가 50씩 커집니다.

• 양수 방향 : 285 + (285 + 250) + (285 + 500) + (285 + 750) + (285 + 1000)

음수 방향도 -5 ~ 0은 -15이고 여기서 각 자리수가 -50씩 총 - 250이 작아집니다.

• 음수 방향 : -15 + (-15 - 250) + (-15 - 500) + (-15 - 750) + (-15 - 1000)

양수 방향과 음수 방향 모두 같은 수를 더하고 빼고 있기 때문에 서로 상쇄됩니다. 그럼 나머지 남는 수는 다음과 같습니다.

• (285 - 15) + (285 - 15) … + (285 - 15) = 270 * 5 = 1350

결국 s = 1350 입니다.

따라서 c + s = 60 + 1350 = 1410 이 됩니다.

 

12번

먼저 움직일 수 있는 모든 개구리를 왼쪽으로 이동시켜보겠습니다. 개구리가 홀수인 경우 움직이지 못하는 개구리가 발생할 수 있습니다. 그런점은 무시하고 최대한 움직이면 아래와 같은 형태가 됩니다.

오른쪽에 있는 개구리 3마리는 더 이상 움직일 수 없습니다.

 

이제 이 문제는 두마리씩 묶어서 오른쪽으로 옮길 수 있는 경우의 수 문제가 되었습니다.

빨간색으로 표시된 두 마리의 개구리가 움직일 수 있는 경우의 수는 빈칸과 같은 9가지 입니다. 중간에 움직일 수 없는 개구리는 신경쓸 필요가 없습니다. 문제에 적혀 있듯이 개구리는 서로 구별하지 않습니다. 두마리를 이동한다는 것이 중요하지, 어떤 개구리를 옮기는지는 신경쓰지 않아도 됩니다.

총 24개의 칸이 있고, 그 중 9개는 항상 비어 있습니다. 24 - 9로 15개의 칸에 개구리 6쌍을 어떻게 놓을지 고민하면 됩니다. 이것은 조합의 문제로 아래의 식으로 나타낼 수 있습니다.

$$ _{15}C_6=\frac{15!}{(15-6)!\times6!}=5005 $$

따라서 정답은 5,005 입니다.

 

13번.  오르막 길

2025년도 초등부 14번 문제와 같습니다. 아래 링크에서 문제 확인 바랍니다.

https://davincicoding.tistory.com/204

2025년 정보올림피아드 필기 초등부(11 ~ 15)

 

14번. 트리 높이 줄이기

2025년도 초등부 15번 문제와 같습니다. 아래 링크에서 문제 확인 바랍니다.

https://davincicoding.tistory.com/204

2025년 정보올림피아드 필기 초등부(11 ~ 15)

 

15번. 사탕 놓기

2025년도 초등부 16번 문제와 같습니다. 아래 링크에서 문제 확인 바랍니다.

https://davincicoding.tistory.com/205

2025년 정보올림피아드 필기 초등부(16 ~ 20)