2021년 정보올림피아드 필기 중등부(1 ~ 5)

2021년도 정보올림피아드 1차대회 필기 중등부 1번부터 5번까지 문제 풀이 입니다.

 

1번

초등부 3번 문제와 같습니다. 아래 링크를 통해 초등부 3번 문제 확인 바랍니다.

https://davincicoding.tistory.com/125#3%EB%B2%88

2021년 정보올림피아드 필기 초등부(1 ~ 5)

 

2번

이미 A가 2번 이긴 상태로 두 번만 더 이기면 승리할 수 있습니다. A가 두 번 더 승리 하는 경우를 생각해 보겠습니다. 먼저 두 번 다 승리로 끝나는 경우, 2승 1패, 2승 2패, 2승 3패하는 경우가 있습니다. 각각의 확률을 모두 더해야 A가 이기는 확률을 알 수 있습니다.

2승 0패

먼저 2승 0패의 경우 입니다. 1 / 2 * 1 / 2 로 계산할 수 있습니다. 이것의 확률은 1 / 4의 확률을 가지고 있습니다.

2승 1패

2승 1패가 되는 경우는 승패승, 패승승의 두 경우가 있습니다. 각각은 1 / 2 * 1 / 2 * 1 / 2 으로 1 / 8이 되고 이것이 2가지 경우가 있어 1 / 4 의 확률을 가집니다.

2승 2패

2승 2패가 되는 경우는 승패패승, 패승패승, 패패승승 세가지가 있습니다. 각각은 1 / 16이고 3가지가 있어 3 / 16이 됩니다.

2승 3패

2승 3패가 되는 경우는 승패패패승, 패승패패승, 패패승패승, 패패패승승 4가지 경우가 있습니다. 각각은 1 / 32이고, 4가지가 있어 4 / 32로 1 / 8이 됩니다.

위 승률을 모두 더하면 1 / 4 + 1 / 4 + 3 / 16 + 1 / 8이고 이 값은 13 / 16이 됩니다. 따라서 최종 상금이 16억이라면 13억을 배정하는 것이 공정한 금액이 됩니다.

 

3번

2049라는 수는 3 이상의 홀수이기 때문에 세 번째 식에 대입할 수 있습니다.

f(2049) = f(2050) + 1

f(n)의 값은 짝수이면 2로 나누어주고, 홀수이면 1을 더해주어 다음수를 찾습니다. 숫자는 결국 작아지고 f(1) = 0에 도달합니다. 결국 남는 것은 식에 더해준 1이라는 숫자 입니다. 이는 결국 f(n)이 f(1)이 되기까지 변화한 개수만큼을 세어주는 것과 같습니다. 그럼 2049부터 1이 될 때까지 몇 번의 변화가 있는지 확인해 보겠습니다.

2049 → 2050 → 1025 → 1026 → 513 → 514 → 257 → 258 → 129 → 130 → 65 → 66 → 33 → 34 → 17 → 18 → 9 → 10 → 5 → 6 → 3 → 4 → 2 → 1

이렇게 2049부터 1까지 변화 하였습니다. f(1)은 0으로 숫자를 세지 않습니다. 따라서 1이 되기전까지 개수를 세어보면 23을 얻을 수 있습니다.

 

4번

10개의 동전 중 A가 뒷면인 동전은 x개 있습니다. 두 동전을 뒤집어 모두 A가 나오게 하려면 다음의 공식을 따릅니다. x / 10 이 첫 번째 동전을 뒤집었을 때 A가 나올 확률 입니다. 두 번째 동전은 총 9개가 있고, x도 하나 줄어 x - 1개 있습니다.

두 동전의 확률을 계산하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있습니다.

$$ \frac{x}{10} \times \frac{(x - 1)}{9} \le \frac{4}{10} $$

이 식을 정리하면 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

$$ x \times (x - 1) \le 36 $$

결국 x가 될 수 있는 가장 큰 수는 6이라는 것을 알 수 있습니다.

 

5번

초등부 7번 문제와 같습니다. 아래 링크를 통해 7번 문제 확인 바랍니다.

https://davincicoding.tistory.com/127#7%EB%B2%88

2021년 정보올림피아드 필기 초등부(6 ~ 10)